Discussion:Signature d'une permutation

organisation des trois articles sur les permutations

voir Discuter:Groupe symétrique Peps 4 juin 2006 à 14:53 (CEST)

Ajouts récurrents d'erreurs dans l'exemple

Depuis décembre 2007, cet article est victime de modifications fausses sur le nombre d'inversions dans l'exemple. decembre 2007, mai 2008, octobre 2009, novembre 2009, janvier 2010, mai 2011, décembre 2011, aout 2012, nov 2012, aout 2013, nov 2013, jan 2014, juil 2014.

J'ai tendance à penser qu'il s'agit d'un bête vandalisme mais il est possible qu'il ait quelque chose de si peu clair dans notre exposé que des lecteurs le comprennent de travers. Si quelqu'un a une idée de la raison de tels changement et du remède à apporter, son avis est le bienvenu. En attendant, il est possible qu'il y ait vacance de surveillance (comme en décembre 2011 où l'erreur introduite est restée jusqu'en avril 2012. Que le passant vérifie donc que le contenu de l'exemple est conforme à la version présente là, là ou là et que le contributeur enregistré ajoute cet article dans sa liste de suivi. Merci. HB (discuter) 24 juillet 2014 à 14:20 (CEST)

Cet exemple semble poser un problème (vandalisme ou incompréhension) car la valse de modifications recommence : janvier 2018[1], aout 2018[2].

Je pense avoir découvert une cause d'erreur : certains «correcteurs» lisent la seconde ligne de la permutation et notent les changement d'ordre. ils fournissent donc les images des paires : au lieu des paires {i,j} telles que i < j et σ(i)> σ(j) - soit la liste {2,5}, {3,4}, {3,5} , {4,5} - ils fournissent les paires {σ(i), σ(j)} - soit les paires {3,2}, {5, 4} {5,2} et {4,2}. La plupart des ouvrages suivent Bourbaki[3] sur la définition d'une inversion (Cf; [4], [5], [6], [7]) mais on trouve aussi parfois l'inversion définie sur le couple image[8]

Une autre source d'erreur provient de ceux qui listent les paires (i, σ(i)) tels que i>σ(i) (???).

Enfin pour ceux qui y voient une signature impaire, je n'ai pas encore réussi à comprendre leur erreur.

La question est donc : comment éviter la reproduction de la première erreur (de loin la plus courante)? - En attendant je mets le commentaire - avertissement plus en évidence. HB (discuter) 24 août 2018 à 13:47 (CEST)

Pourquoi $\mathbb {C} ^{*}$ ?

Les modifs récentes présentent (dès le RI) la signature (si n>1) comme l'unique morphisme non trivial de S_n dans \C^*. Pourquoi \C^* ? Ça me semble un TI car je ne trouve aucune source mentionnant ça. Les seules choses approchantes que je trouve sont : l'unique morphisme surjectif de S_n dans {-1,1}. Si on veut être complet, on peut montrer d'abord que tout morphisme non trivial de S_n dans un groupe abélien a pour image un groupe d'ordre 2.

Une autre chose qui me semble un TI est de s'étendre sur le cas n=1. Mieux vaudrait exclure dès le début. À moins qu'une source parle du morphisme signature sur S_1 ?

Anne, 7/1/17, 22 h 48

La seule allusion à C^*, je l'ai trouvée dans un devoir maison[9]. Je trouve cela effectivement un peu léger pour figurer dans le RI : morphisme surjectif dans {-1;1} pour n ≥ 2 me semble plus pertinent. Ce même devoir permet en outre d'alléger de manière intéressante la démonstration 1. tu l'avais déjà fait HB (discuter) 8 janvier 2017 à 08:01 (CET)

Signature d'un produit

Essayant de faire une preuve formelle (assistant de preuve Coq) de la signature d'un produit, je ne comprends pas comment, dans la démonstration, on passe d'un produit sur 1≤i<j≤n dans la première ligne à un produit sur (i,j)∈P dans la deuxième. Ok pour la fusion des deux produits, mais, pour les bornes, ça ne me paraît pas aussi clair. Ça supposerait que pour j variant entre 1 et i, le produit en question vaudrait 1, ce qui n'a pas de raison d'être vrai dans le cas général. janvier 2021 wku2m5rr (discuter) 11 janvier 2021 à 07:26 (CET)

Bonjour Wku2m5rr , c'est normal que tu aies eu du mal à comprendre : une IP avait désorganisé l'article en 2017 en déportant en fin d'article le paragraphe « Une formule pour la signature », qui était pourtant crucial dans la preuve qui t'intéresse. J'ai remis les choses dans l'ordre. La clé est la bijection naturelle entre les paires {i, j} d'entiers distincts et les couples (i, j) d'entiers tels que i < j. Anne, 8 h 37

Waou, rapide ǃ Merci ǃ wku2m5rr (discuter) 11 janvier 2021 à 12:50 (CET)

Bonjour. Oups... j'ai l'impression que la formule pour la signature $\prod _{\{i,j\}\in {\mathcal {P}}}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}$ ne marche pas. Contre-exemple ː n=2, $\sigma :={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}$, $\prod _{1\leq i<j\leq 2}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}=-1$ (correct), $\prod _{\{i,j\}\in {\mathcal {P}}}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}=1$ (incorrect). Vu la symétrie de cette formule entre i et j, je pense qu'elle doit d'ailleurs toujours donner 1. Me suis-je trompé quelque part ? wku2m5rr (discuter) 12 janvier 2021 à 04:52 (CET)

Bonjour Wku2m5rr .

Comme je disais hier, la clé est la bijection naturelle entre les paires {i, j} d'entiers distincts et les couples (i, j) d'entiers tels que i < j. $\prod _{\{i,j\}\in {\mathcal {P}}}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i}}=-1$, pas $+1$. Pour n = 2, il n'y a qu'une paire d'entiers distincts compris entre 1 et n : {1, 2} = {2, 1} (pour n quelconque il y en a n(n – 1)/2). Anne, 10 h 05

S'il n'y a qu'une paire d'entiers distincts, il faut alors imposer, par exemple, que i<j, ce qui rend les deux définitions strictement identiques, celle avec 1≤i<j≤n et celle avec (i,j)∈P. En quoi la deuxième définition marche mieux ? wku2m5rr (discuter) 12 janvier 2021 à 10:17 (CET)

@Wku2m5rr Les deux définitions ne sont pas "identiques" puisque les deux ensembles ne sont pas égaux mais seulement en bijection.

Il n'y a rien lieu d'"imposer" dans une paire, il y a simplement 2 façons de l'écrire : {i, j} = {j, i}, que i et j soient des entiers ou, par exemple, des points du plan (non ordonné !).

La bijection naturelle de l'ensemble des paires {i, j} d'entiers distincts vers l'ensemble des couples (i, j) d'entiers tels que i < j est : {i, j} ↦ (min(i,j), max(i,j)) (dans cette écriture, on ne sait pas qui de i ou j est le plus petit, mais peu importe). La bijection réciproque est (i, j) ↦ {i, j}.

La deuxième définition est bien plus commode que la première pour démontrer la formule sur la signature d'un produit.

P.S. je vois que tu as écrit plusieurs fois "(i,j)∈P". Ton problème est peut-être que tu confonds paire et couple ? Anne, 16 h 36

Non, c'est parce que je ne sais pas faire des accolades dans la zone de dialogue de wikipédia. Ça m'affiche un caractère bizarre. Ça me fait pareil avec les deux-points, le signe "supérieur" et le tilde. Je ne trouve pas comment on résout ça et je ne trouve nulle part d'explications. Si j'ai pu afficher ces caractères dans mes messages d'avant, c'est parce que j'ai fait du couper-coller (qui, lui, marche), mais j'ai eu la flemme pour les paires. De toutes façons, on peut toujours représenter les paires (d'entiers) par des couples en imposant un ordre, non ? Il me semble que ça revient au même puisque c'est une bijection. wku2m5rr (discuter) 12 janvier 2021 à 17:51 (CET)

Oui c'est une bijection (et pas une égalité), donc non ça ne revient pas au même : essaye de réécrire la preuve de la formule sur la signature d'un produit en utilisant, à la place des paires (d'entiers distincts), les couples (d'entiers dont le premier est < au second) et tu verras comme c'est pénible. Anne, 21 h 50

Mmm... le problème, c'est que je ne sais pas définir ce que c'est que le produit des éléments d'un ensemble. D'un n-uplet, je vois, mais d'un ensemble, je ne vois pas. Est-ce l'ensemble de tous les produits possibles, en prouvant que cet ensemble n'a qu'un seul élément, par commutativité et associativité ? wku2m5rr (discuter) 13 janvier 2021 à 04:17 (CET)

Le produit d'un ensemble fini de nombres est le produit de ces nombres agglutinés un par un (dans n'importe quel ordre, par commutativité et associativité). C'est donc juste un nombre, pas un singleton. Anne, 15 h 51

Ça revient à ce que j'ai dit. J'ai l'air de pinailler, mais c'est parce que je fais des preuves formelles dans lesquelles la notion de "n'importe quel" dont tu parles doit être précisé. Soit on dit "il existe un ordre tel que..." mais dans ce cas-là on n'a pas d'algorithme (c'est pas forcément grave, mais il faut s'arranger avec), soit, comme ici, on peut préciser l'ordre en question des termes à multiplier, et on donne explicitement l'algorithme, ce qui est plus simple. Ton ensemble P est totalement ordonné (ce qui est imposé par le lien que tu me donnes), c'est donc bon. Pour spécifier l'algorithme, il faut donc choisir un ordre. Et là, l'ordre le plus naturel est celui avec i<j. On peut en choisir un autre mais on reste confronté au même problème. Du coup, de mon côté, je ne vois pas la différence entre les deux façons de définir le produit. Le problème se pose au moment de "réindexer (grâce à la bijectivité de σ2)". Il faut alors faire un changement de l'ordre choisi dans P. Ce nouvel ordre sera valable, grâce à la bijection, la commutativité et l'associativité, mais il me faut le préciser, cet ordre et (pour moi) prouver que c'est bien un ordre. Du coup, je me retrouve avec des problèmes de preuves dans les permutations. En résumé, ta preuve est correcte, mais je bloque sur les détails. C'est un problème fréquent dans les preuves formelles. wku2m5rr (discuter) 14 janvier 2021 à 08:32 (CET)

La formule pour la signature

Bonjour Guillaume.Fenger , tu m'as envoyé un mail mais je l'ai jeté par erreur, sans avoir eu le temps de le lire. J'ai juste le début dans ma notification : « Bonjour Anne, Désolé pour cette erreur. Malgré tout je ne comprends pas comment ces termes peuvent être égaux (ils n'ont... ». Peux-tu s'il te plait répéter ta question ? Anne 30/3/2022, 15 h 20 re-Bonjour Guillaume.Fenger , je signe normalement cette fois, pour le cas où ma façon précédente de signer aurait empêché que tu reçoives une notification (tu me diras stp si tu en as reçu 1 ou 2). Anne (discuter) 30 mars 2022 à 15:30 (CEST)